検定を幾何で理解する 1: 仮説は地図の中の場所

統計的検定は、最初はかなり不思議に見えます。

$p$ 値、有意水準、帰無仮説、対立仮説。言葉が多く、しかもどれも少し抽象的です。

この連載では、検定を幾何で見ます。

幾何で見るとは、確率分布を地図の上の点として考えるということです。

データは、その地図のどこに行けば自然に説明できるかを教えてくれます。検定は、その場所が「仮説の場所」からどれくらい離れているかを見る作業です。

コイン投げを地図にする

コインを $n$ 回投げて、表が $x$ 回出たとします。

表が出る確率を $p$ とすると、$p$ を 1 つ決めるだけでコイン投げの確率分布が決まります。

たとえば、

$$p=0.5$$

なら普通のコインです。

$$p=0.8$$

なら表が出やすいコインです。

つまり、$p$ の値は「確率分布の地図上の場所」です。

帰無仮説は地図の中の場所

普通のコインかどうかを調べたいとします。

このとき帰無仮説は、

$$H_0: p = 0.5$$

です。

幾何の言葉では、これは地図の中の 1 点です。

一方、対立仮説

$$H_1: p \ne 0.5$$

は、$p=0.5$ 以外の場所も許すという意味です。

データが指す位置

データは最も合う場所を選ぶ

20 回投げて 16 回表が出たとします。

このデータにいちばん合う $p$ は、だいたい

$$\hat{p} = \frac{16}{20} = 0.8$$

です。

これは最尤推定量です。名前は難しいですが、ここでは「データにいちばん合う場所」と読めば十分です。

帰無仮説の場所は $p=0.5$ です。データが選んだ場所は $p=0.8$ です。

検定は、このズレが偶然としてありえるかを調べます。

普通のコインを 20 回投げたときの揺れ

帰無仮説 p = 0.5 のもとで、表の回数がどれくらい揺れるかを見ると、p 値の直感が作れます。

珍しさは距離だけでは決まらない

ここで注意が必要です。

$p=0.5$ から $p=0.6$ までの差は 0.1 です。

$p=0.9$ から $p=1.0$ までの差も 0.1 です。

でも、確率分布としての変化は同じとは限りません。

確率の地図では、場所によってものさしが変わります。

このものさしが Fisher 情報量です。

Bernoulli 分布の Fisher 情報量

p が 0 や 1 に近い場所では、同じ p の移動でも分布の変化が大きく見えます。

今日のまとめ

検定を幾何で見ると、帰無仮説は地図の中の場所です。

データは、そのデータに合う場所を選びます。

検定は、データが選んだ場所と帰無仮説の場所のズレが、偶然の揺れとして自然かどうかを見る作業です。

次回は、この「ズレ」を距離として測る Wald 検定を見ます。